5. Isométrie - Similitude - Thales
Isométrie - Similitude - Thalès
1. Introduction du chapitre 10
Je vous conseille également de voir les synthèses des pages 90 et suivantes
Revoici pour celui (ou celle) qui les a égarées ou baclées les feuilles d'introduction : isom_trie_et_similitude et les exercices : applications_d_intro
Je vous conseille de bien revoir et de bien comprendre ces feuilles d'introduction, elles reprennent les premières notions importantes et la différence entre une isométrie et une similitude.
Premier devoir sur ce chapitre : devoir_isom_trie_et_similitude
2. Isométrie
Qu'est-ce-qu'une isométrie ?
Une isométrie est une transformation du plan qui conserve les distances
Je vous conseille ici de revoir la synthèse du livre (tome 2 pages 92 et 94)
Voici un lien intéressant pour découvrir les isométries et les similitudes :
Critères d'isométrie des triangles
Petit jeu
Point de départ : Une personne dessine sur sa feuille, devant lui, un triangle quelconque. Il demande ensuite à d'autres de reconstruire rigoureusement le même triangle que lui. Ceux-ci peuvent poser des questions relatives aux côtés et aux angles du triangle au dessinateur. Règle du jeu : ils doivent poser le moins de questions possibles. Coup de pouce : il y a trois possibilités.
Voila les trois possibilités :
1er possibilité : Donne-moi, dessinateur, les longueurs des trois côtés du triangle et je te construirai un triangle identique au tien.
2ème possibilité : Donne-moi, dessinateur, la longueur d'un côté et l'amplitude de deux angles de ton triangle et je te constuirai un triangle absolument identique au tien.
3ème possibilité : Donne-moi, oh dessinateur, l'amplitude d'un angle de ton triangle et la longueur des côtés de cet angle et je te construirai un triangle rigoureusement identique au tien.
Critères d'isométrie des triangles
Ce petit jeu nous font découvrir les trois critères ou cas d'isométrie des triangles
- Deux triangles sont isométriques s'ils ont un angle de même amplitude compris entre des côtés de longueur respectivement égale
- Deux triangles sont isométries s'ils ont un côté de même longueur et deux angles respectivement de même amplitude
- Deux triangles sont isométriques s'ils ont leurs trois côtés de longueur respectivement égale.
Remarques
- Dans le premier critère, l'angle doit être compris entre les côtés donnés sans quoi, les triangles constuits ne seront pas nécessairement isométriques (voir la construction faite en classe)
- Le mot "respectivement" est important car il met en relation les côtés ou les angles du premier triangle avec leurs côtés homologues dans le second.
Exercices : Voir les exercices faits en classe
Ne pas oublier :
- Pour prouver que deux segments ont la même longueur, on montre que ce sont les côtés homologues de deux triangles isométriques
- Pour prouver que deux angles ont la même amplitude, on montre que ce sont les angles homologues de deux triangles isométriques.
Il faut donc commencer par trouver des triangles qui ont l'air isométriques, superposables. Ensuite prouver qu'ils le sont en utilisant les critères ci-dessus, ensuite on pourra en conclure que les côtés homologues ont la même longueur ou les angles homologues la même amplitude en fonction des demandes (thèse) du problème.
Autres exercices donnés sans les corrections
1. démontre que dans tous parallèlogramme, une diagonale détermine deux triangles isométriques.
2. Dans un parallèlogramme, trace les diagonales. Découvre les paires de triangles isométriques. Démontre.
3. Démontre que les hauteurs relatives aux côtés de même longueur d'un triangle isocèle ont la même longueur
4. Démontre que les bissectrices des angles à la base d'un triangle isocèle ont la même longueur.
5. Démontre que si la hauteur d'un triangle est en même temps médiatrice de ce triangle, alors ce triangle est isocèle.
6. Si deux hauteurs d'un triangle ont même longueur, alors ce triangle est isocèle. Démontre.
7. Caractérise le triangle dont la médiatrice d'un côté passe par le sommet opposé. Justifie ta réponse.
Quelques tests des années précédentes :
test_isometrie_demonstration test_isometrie_v5 test_iso_v_4 test_iso_v5
Devoir : devoir_isometrie
3. Similitudes
Petite introduction : rapports et proprotions.
deux tests sur rapport et proportions
test_rapport_et_prop_v1, test_rapport_et_prop_v2
Rappel
Deux figures sont semblables si elles sont identiques aux dimensions près. L'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre. Leurs angles ont respectivement même amplitude (forcément, sans quoi, les figures seront déformées!). L'échelle d'agrandissement ou de réduction s'appelle "rapport de similitude".
Voir à ce propos les feuilles d'introduction du chapitre : "introduction chapitre 10".
Nous nous intéresserons plus particulièrement aux triangles semblables.
Petit jeu :
Comme pour les critères d'isométrie des triangles, nous nous poserons une question :
Le professeur dessine un triangle quelconque au tableau et demande à ses élèves de dessiner un triangle semblable sur leur cahier. Ceux-ci peuvent poser des questions relatives aux angles et aux côtés du triangle. Ils doivent poser le moins de questions possibles, des questions pertinentes ......
Un élève intervient : Donnez-nous l'amplitude d'un angle et les longueurs des côtés du triangle formant cet angle. Je choisirai une échelle (un rapport de similitude) et je vais dessiner un triangle semblable au vôtre.
Un autre prend la parole : Donnez-nous les amplitudes de deux angles et je constuirai un triangle semblable au vôtre. La longueur du segment "reliant" les deux angles n'a pas d'importance. Je n'en ai pas besoin. De toute façon deux segments sont toujours semblables.
Un troisième à son tour déclare : Donnez-nous les longueurs des trois côtés de votre triangle et nous construirons un triangle semblable au vôtre. Nous allons choisir une échelle (un rapport) et sans aucun doute, notre triangle sera semblable au vôtre.
Que pensez-vous de ces affirmations ?
Critères de similitude des triangles
- Deux triangles sont semblables s'ils ont un angle de même amplitude compris entre deux côtés de longueurs proportionnelles.
- Deux triangles sont semblables s'ils ont deux angles respectivement de même amplitude.
- Deux triangles sont semblables s'ils ont leurs trois côtés de longueurs proportionnelles.
(Voir aussi le livre, tome 2, page 96)
Exercices faits en classe : les numéros 36,37,44,45,46 et 49 pages 104 et 105
Autres exercices sur feuilles : ex_tri_semblables_1 et ex_tri_semblables_2
Correction de ces exercices :corr_ex_similitudes
tests de cette année : test_similitude_v1_2011_2012 , test_similitude_v2_2011_2012
test_similitude_v3_2011_2012 , test_similitude_v4_2011_2012 et les corrections de ces deux derniers tests :
corr_simi_v4 ; corr_test_similitude_v3_2011_2012
Devoir du 6 février 2013 : devoir_similitudes et sa correction : corr_def_similitudes
4. Thales
Thalès de Milet était un philosophe présocratique ionien né à Milet vers -625 et mort vers l'an 547 avant J-C. Il fut l'un des sept sages de la Grèce et le fondateur de l'école milésienne (voir Wikipédia) Voir aussi votre cours d'histoire où votre professeur préférée, Madame Weyland, n'a pas manqué de vous en parler !
Moment clé du troisième : Le théorème de Thalès :
Introduction du théorème : Partons des triangles semblables et amusons-nous un peu !
Voir les feuilles distribuées en classe ci-dessous. Contrairement à l'apparence, avec un tout petit peu d'attention, ce n'est vraiment pas compliqué, mais il faut s'investir un tout petit peu.
Voici quelques liens intéressants avec applications du théorème de Thales.
http://siteexomath.free.fr/fichescollege/fiche_thales.htm
http://www.ilemaths.net/maths_3_thales_2exos.php
http://www.cmath.fr/3eme/theoremedethales/exercice1.php
http://www.cmath.fr/3eme/theoremedethales/exercice1.php
http://mathsp.tuxfamily.org/IMG/pdf/th-thales-2.pdf
http://www.tetraedre.net/niveau3/cours/3_cours2.pdf
En classe, nous résoudrons quelques exercices parmi les numéros suivants:
20 - 23 - 24 - 26 - 35 - 36 - 37 - 38 - 39 - 42 - 44 du chapitre 8 du deuxième tome.
Voici la correction de ces exercices (sauf erreurs !) correction_ex_thales
Voici quelques tests des années précédentes. Les notations sont peut-être légèrement différentes mais ne doivent par gêner la comprehension.
La réciproque du théorème de Thalès.
Le théporème direct nous dit ceci : si deux droites a et a' sont parallèles, alors on peut en déduire un certain nombre d'égalité entre rapports, un certain nombres de proportions.
La réciproque nous dit ceci : Si on a telle ou telle proportion, alors on peut en déduire le parallèlisme entre des droites.
Pour mieux voir ceci dans le détail, ouvrir le fichier suivant : Reciproque_de_Thales
Voici quelques exercices : ex 31 et 32 page 49, ex 40 page 50, ex 54 page 52
et la correction : corr_recip_thales
Une application intéressante du théorème de Thalès : Partager un segment en x parties égales.
Comment faire pour partager, de manière raisonnée et justifiée un segment d'une longueur donnnée en x parties égales. Partager par exemple, un segment donné en 5 parties égales. Voir le fichier attaché ci-joint: partager_un_segment
Bien veiller à distinguer la "pourquoi" du "comment". Comment je divise le segment donné et pourquoi je travaille de cette manière, ce n'est pas la même chose. En troisième, on demande surtout de justifier ce que l'on fait, on insiste donc sur le pourquoi.
Une autre application intéressante : le théorème dit des milieux.
Si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle et est parallèle à un autre côté alors elle coupe le 3ème côté en son milieu et la longueur du segment déterminé est égale à la moitié de celle du côté qui lui est parallèle.
et sa réciproque :
Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté et la longueur du segment déterminé est égale à la moitié de celle du troisième côté.
Une petite utilisation de ce théorème et de sa réciproque :
En joignant les milieux consécutifs d'un quadrilatère quelconque, on obtient toujours un parallèlogramme.
Démonstration de tout ceci en cliquant sur le lien :Theoreme_des_miliexu
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