le cours de mathématique en 3ème année : aide

08 septembre 2011

1. Ecriture littérale et Identités remarquables

 

Chapitre 1 : Ecriture littérale et Identités remarquables

D'abord le plan du chapitre : chapitre_1_plan (la feuille a été distribuée en classe !)

1. Développer :

1.1 Distributivité simple et distributivité double.

Beaucoup de révisions dans cette première partie de chapitre. Je conseille de relire et d'étudier la petite synthèse en haut de la page 12.

Développer un produit, c'est donc l'écrire sous la forme d'une somme de plusieurs termes.

Lorsqu'on développe un produit, on transforme une multiplication en une addition (ou une soustraction)

Remarque : Attention à la règle des signes et plus particulièrement aux parenthèses précédées d'une signe -.

Dans une expression telle que celle-ci  (a+b)(c+d) - (a-b)(c-d), toujours appliquer deux fois la double distributivité en laissant les parenthèses puis enlever les parenthèses en respectant les règles connues.

Exemple: (a+b)(c+d) - (a-b)(c-d) = (ac+ad+bc+bd) - (ac-ad-bc+bd)=ac+ad+bc+bd-ac+ad+bc-bd =2ad+2bc

Correction des exercices de la page 16 : chap1_p_16

 

1.2. Les identités ou produits remarquables

 Rappel : les trois produits (identités) remarquables vues en deuxième année : (je conseille en cas de difficultés de revoir les exercices faits l'an dernier, si tu es soigneux(se), tu as conservé ton cahier !)

(a+b)² = a²+2ab+b²

(a-b)² = a²-2ab+b²

(a+b)(a-b) = a²-b²

Ces trois identités remarquables sont à connaître par coeur.

Voir aussi la petite synthèse de la page 12 du tome 1.

Attention : ne pas confondre (a-b)² et a²-b²

(a-b)² est le carré d'une différence tandis que a² -b² est une différence de deux carrés.

Correction des exercices de la page 17 : cliquez sur les liens suivants : chapitre_1_p_17__1_: chapitre_1_p_17__2_

Test N°1 du 14 septembre 2009 test_1_2009_2010_v1

 2. Factoriser

Factoriser une expression algébrique, c'est l'écrire sous la forme d'un produit.

Si a, b, c sont des nombres relatifs

a.(b+c) = a.b + a.c

  • Si je lis cette expression de gauche à droite, j'effecture, je distribue
  • Si je lis cette expression de droite à gauche, je factorise, je mets en évidence

La factorisation est en quelque sorte "le contraire", "l'opération inverse" de la distibutivité.

Pour factoriser, nous utiliserons trois méthodes différentes

1ère méthode : la mise en évidence

(L'expression française :"Se mettre en évidence" signifie se mettre en avant,devant. En mathématique, l'expression a la même signification, mettre en avant, mettre devant les autres.)

Pour factoriser une expression par mise en évidence, il faut :

  1. Une somme (ou une différence) de plusieurs termes
  2. Chaque terme doit s'écrire sous la forme d'un produit de plusieurs facteurs
  3. L'éventuel facteur commun aux différents termes peut être mis en évidence

Exemples:

  1. kx + kc = k(x+c)
  2. 6a + 18 = 6a+6.3 = 6(a+3)
  3. 6a + 6 = 6.a + 6.1 = 6.(a+1)
  4. Voir les autres exemples pages 14 et 15

Attention : dans une expression telle que celle-ci "axay" on ne peut mettre en évidence car  on n'a pas une somme de plusieurs termes mais un produit de plusieurs facteurs.

Remarques :

  1. Toujours mettre en évidence le plus de facteurs possibles.
  2. Il y a toujours autant de termes à l'intérieur des parenthèses que dans l'expression de départ.

 

2ème méthode : la différence de deux carrés.

Se souvenir de l'identité remarquable : (a + b)(a - b) =  a² - b²

Prenons cette identité à l'envers, le premier terme de l'égalité devient le second et le second devient le premier.

a² - b² = (a + b)(a - b)

 

Le premier membre est une différence de deux termes, le second membre est un produit de deux facteurs, on a donc bien factorisé une expression mathématique.

Lorsqu'une expression mathématique se présente sous la forme d'une différence de deux carrés, on peut donc la factoriser en utilisant l'identité remarquable connue. Voir les exemples en bas de la page 14.

Attention : Remarque importante : On ne peut jamais factoriser une somme de deux carrés.

! a² + b² est infactorisable !

Attention : encore une fois, ne pas confondre (a-b)² et a²-b²

(a-b)² = (a-b)(a-b)  et   a²-b² = (a-b)(a+b)

Exemples :

  1. a²-9 = a²-3²=(a-3)(a+3)

  2. 16a²-81b²=(4a)²-(9b)² = (4a-9b)(4a+9b)

  3. voir aussi les exemples pages 14 et 15

3ème méthode : le trinôme carré parfait

Se souvenir des identités remarquables : (a+b)²=a²+2ab+b² et (a-b)²=a²-2ab+b²

  • Lorsque ces expressions sont lues de gauche à droite, on effectue, on transforme une multiplication en une addition ou une soustraction.

  • Lorsque ces expressions sont lues de droite à gauche, on factorise car on transforme une addition ou une soustraction en une multiplication.

Lorsque nous allons rencontrer une expression mathématique qui se présente sous ces formes :

a²+2ab+b²

a²-2ab+b²

nous allons donc pouvoir les factoriser en écrivant respectivement :

(a+b)² et (a-b)².

Comment procéder ?

Exemple : 4x²+12x+9 est un trinôme (trois termes). Est-il carré parfait ? Pour cela, il faut deux carrés. 4x² est le carré de (2x) et 9 est le carré de 3. De plus 12x doit être le double produit de 2x par 3. Est-ce le cas ? Oui car 2.2x.3=12x. Donc :

4x²+12x+9 = (2x)²+2.2x.3 + 3² = (2x+3)²

Voir les autres exemples page 14 et page 15 tome 1

Exercices corrigés de la page  18  : cliquez ici : chapitre_1_p_18__1_

Exercices corrigés de la page 18 (n°30 à 34) et de la page 19 (n°35 et 36) chap_1_p_18_et_19

Exercices corrigés de la page 19 (n° 37 à 43) : chap_1_p_19

Exercices corrigés des pages 19 et 20  : chap_1_p19_et_20

Exercices corrigés page 21 (57 à 63) : chap_1_ex_57___63

Devoir de mathématique n°1 num_risation0007  et sa correction : 

 


09 septembre 2011

2. Equations et inéquations

1. Equations du premier degré à une inconnue : Chapitre_2

Ce sont les équations  de l'an dernier en deuxième. Je vous conseille donc de revoir, dans votre cours de l'an dernier les exercices que vous aviez résolus et la méthode de résolution.

Vous pouvez aussi faire tous les exercices 1 à 7 page 38 et 86 à 89 page 46.

Cliquez sur le lien ci-contre pour trouver les solutions. chap_2__quations_1

Comment résoudre une équation qui semble plus compliquée, avec des dénominateurs, de grandes barres de fraction, des "moins" devant ces barres de fraction, etc.

Clique ci-contre, tu trouveras des pistes pour apprendre. Resoudre_une_eq___den

Voici d'autres équations.... un peu plus compliquées.Quelques__quations___r_soudre

Voici les solutions : Correction_des_exercices_suppl_mentaires

 

Jusqu'à présent, nous résolvons des équations qui admettent une seule solution. On peut dire que ce sont des équations  "déterminées".

Equations particulières

1) Equations impossibles

Soit à résoudre l'équation : 0x = 4

Question : Existe-t-il un nombre qui multiplié par 0 donne 4 comme produit ? Aucun, bien sûr ! 0 étant élément absorbant pour la multiplication ! Cette équation n'admet donc aucune solution. Nous dirons que c'est une équation impossible.

Voici une série d'équations impossibles.

0x = -3       0x = 78       0x = -56

2) Equations indéterminées

Soit à résoudre l'équation : 0x = 0

Question : Existe-t-il un nombre qui multiplié par 0 donne 0 comme produit ? Oui, bien sûr ! Tout nombre multiplié par 0 donne 0 comme produit. Tout nombre est donc solution de cette équation. Voilà une équation qui admet donc une infinité de solutions. C'est une  équation indéterminée.

 

En résumé donc

Une équation admet une seule solution : équation déterminée

une équation admet  une infinité de solutions : équation indéterminée

Une équation n'admet aucune solution : équation impossible

 

2. Les équations produits nuls

Rappel : 0 est élément absorbant pour la multiplication. Cela signifie que si un facteur d'un produit est nul, le produit est nécessairement nul.

Exemple : 3,5x2,7x0x3,6 = 0 car un des facteurs de ce produit est nul.

Mathématiquement, quels que soient les nombres a et b,

Si  a = 0 ou b = 0 alors a.b=0

Réciproquement, nous admettrons que si un produit est nul alors un au moins de ses facteurs est nécessairement nul.

Mathématiquement, quels que soient les nombres a et b,

si a.b = 0, alors a = 0 ou b = 0

Exemple :

Voici un produit nul : (x+2)(x+3)=0. Ce produit comprend deux facteurs. Puisque le produit est nul, c'est que un des deux facteurs du produit est nécessairement nul. Soit le premier facteur (x+2)=0, soit le deuxième facteur (x+3)=0. Le produit (x+2)(x+3) est donc nul si x = -2 ou x=-3.

Les nombres trouvés, -2 et -3 sont des solutions de l'équation (x+2)(x+3) = 0.

Une équation de ce type est appelée une "équation produit nul".

Généralisons :

Une équation du type (ax+b)(bx+c) = 0 est appelée une équation produit nul.

Les solutions d'une telle équation sont les solutions de chacune des équations ax+b=0 et cx+d=0

(Voir la petite synthèse en bas de la page 32.)

Comment ramener une équation à une équation produit nul ?  Voir page 33.

Autres exemples

1) Résoudre l'équation  (x-4)(x-1)=0. C'est une équation produit nul. (Un produit est nul, si un des facteurs qui le composent est nul.)

Donc x-4=0, c'est-à-dire x=4

ou

x-1=0, c'est-à-dire x=1

Cette équation admet donc deux solutions : 4 et 1

Présentation :

(x-4)(x-1)=0

1er cas: x-4 = 0 donc x=4

2ème cas : x-1 = 0, donc x=1

Solution : S = 4;1

 

2) Résoudre l'équation x² + 9x = 0

  • Factoriser le premier membre

x(x+9) = 0

  • Et nous sommes ramenés à une équation produit nul. Deux facteurs x et x+9

1er cas : x = 0

2ème cas : x+9 = 0, donc x = -9

Solution : S = 0;-9

Quelques remarques :

  • Lorsqu'une équation est d'un degré supérieur à 1, nous sommes face à une équation produit nul.

  • Toujours ramener tous les termes dans le premier membre, le deuxième membre doit être nul.

  • Factoriser alors le premier membre. Chaque facteur doit être une expression  du premier degré.

  • Egaler chaque facteur à 0 (puisque le produit est nul)

  • La solution est composée des solutions de chacune des équations du premier degré.

  • Ces équations ademettent donc généralement plusieurs solutions.

Solutions des exercices du livre : eq_prod_1 et eq_prod_2

Test n°3: Equations et sa correction  : à voir plus tard

Les problèmes à une inconnue

Pour résoudre de tels problèmes, on les tansforme en équations, on change de langage. On passe d'un langage français en un langage mathématique. Le langage mathématique étant dans ce cas une équation. Pour cela il nous faut respecter quelques règles.

Il nous faut tout d'abord indiquer clairement ce que va représenter l'inconnue de l'équation. Cette première étape s'appelle "le choix de l'inconnue."

La deuxième étape consiste à traduire l'énoncé donné en français en un langage mathématique, c'est ce qu'on appelle "la mise en équation". C'est l'étape la plus délicate. Il faut veiller à bien traduire l'énoncé.

La troisième étape est la résolution de l'équation et la solution de cette équation. Facile

La quatrième étape est la solution du problème ou l'interprétation du résultat. Cette étape est importante car c'est elle qui donne vraiment la solution du problème. Attention cependant la solution du problème n'est pas toujours la solution de l'équation. D'où l'importance de l'interprétation de la solution de l'équation.

On peut utilement ensuite vérifier la solution du problème en reprenant l'énoncé en français et en vérifiant si la solution trouvée répond bien à la question posée dans le problème.

Solutions des problèmes proposés dans le livre aux pages 39 et 50 : solutions_probl_mes

Voici d'autres problèmes à résoudre par mise en équation : _probl_mes___une_inconnue__V2_ 

Solutions_des_probl_mes_du_premier_degr____une_inconnue

Voici encore quelques équations de tous les types et leurs solutions : Encore_quelques__quations___r_soudre

3. Inéquations  

Intro : Inégalités et opérations

En classe nous avons compléter la feuille suivante  :  ordre

Voir la synthèse de la page 36

Exercices intéressants: N° 51  52  53  54  55  56  57  58

Correction de ces exercices : exercices_ordre

Qu'est-ce qu'une inéquation ?

 Une équation est une égalité qui pose une question.

 Répondre à la question, c'est résoudre l'équation.

Quel est le nombre dont le triple est égal à 48 ?

Une inéquation est une inégalité qui pose une question.

Quels sont les nombres dont le triple est strictement plus petit que 48 ?

Répondre à la question , c'est résoudre l'inéquation.

Voir livre page 34

Comment résoudre une inéquation ?

On procède comme pour une équation en appliquant les règles vues précédemment.

Attention : lorsqu'on multiplie les deux membres d'une inégalité par un même nombre négatif, l'inégalité change de sens !

Exemple commenté : voir livre page 37 (tome 1) Remarque : nous n'adoptons pas la présentation sur une droite graduée comme présenté dans le livre ! (voir les sous-ensembles de R dans un autre chapitre!)

Exercices simples : page 43 (n° 64 à 69)

Correction

de ces exercices : inequations_1 

Encore quelques inéquations à résoudre.  inequations_a_resoudre Ces inéquations n'ont pas été résolues en classe.

Correction des exercices 131 à 132 page 49 et 143 à 148 page 50  Num_riser0002

 

Inéquations particulières :

Ce sont les inéquations du type 0x<0; 0x>-2; ......

Avant tout REFLECHIR ! Il n'y pas de truc, ni de règle particulière. REFLECHIR !

Exemple 1  : 0x

Est-il possible de trouver un nombre qui multiplié par 0 va donner un produit plus petit que -2 ? Non bien sûr, car 0 est élément absorbant pour la multiplication, autrement dit 0x est toujours égal à 0, donc n'est pas plus petit que -2. Cette inéquation est impossible. Aucune solution.

Exemple 2  : 0x>-2

Est-il possible de trouver un nombre qui multiplié par 0 va donner un produit plus grand que -2 ?  oui bien sûr, car Ox = 0 et comme 0 est plus grand que -2, cette inéquation admet une infinité de solutions. Tous les réels sont solutions de cette équation.

Envisager donc toutes les inéquations de ce type sous cet angle. Se poser les bonnes questions et ne pas agir mécaniquement.

 

 

 

17 octobre 2011

3. Puissances et racines carrées

Puissances et racines carrées : le plan du chapitre : plan_chapitre_3

 

1. Les puissances entières

En première et en deuxième, tu as étudié les puissances entières positives de nombres naturels puis de nombres entiers et enfin de fractions et de décimaux. Jusque-là les puissances étaient positives.

Si on peut dire, les puissances ont été "inventées" dans le but de simplifier les multiplications.

Au lieu d'écrire 2.2.2, on écrira 2³.

En troisième, nous passons à la vitesse supérieure : Arrivent les puissances entières, donc positives ou négatives tout en restant entières. Dans les années futures, les puissances pourront être fractionnaires.

Remarque : L'exposant négatif m'indique que je dois prendre l'inverse de l'expression désignée. Ainsi par exemple l'exposant    -3 m'indique que je dois prendre l'inverse de l'expression puis élever cette nouvelle expression au cube. Une puissance négative n'indique donc jamais que l'expression considérée est négative mais simplement qu'il faut passer à l'inverse !

 

Revoir les définitions, les propriétés page 58 ainsi que les exercices résolus  à la page 59

Petites explications supplémentaires : explications_puissances

Revoir évidemment tous les exercices faits en classe. Les refaire au brouillon, vérifier les réponses en les comparant aux réponses du cahier. (Cela suppose un cahier en ordre et soigné !)

Correction de quelques exercices sur les puissances des pages 66 et  67 : corr_ex_pages_66_et_67

Exercices complémentaires :  intro_puissances  et la correction :

Si tu souhaites encore d'autres exercices sur les puissances, va voir sur internet. Il suffit d'introduire 'exercices sur les puissances" et de nombreux exercices corrigés te seront proposés.

Devoir relatif aux puissances : devoir_puisances  et la correction : 

2.Les racines carrées.

Introduction :    voir les feuilles distribuées en classe :

intro_racines_carr_es

 

Avant de résoudre les exercices ci-dessous, bien revoir tout ce qui a été fait en classe, les notions théoriques, la signification des symbôles, les notations. REfaire aussi les exercices faits dans le cahier. Vérifier les solutions en comparant avec les solutions du cahier.

Quelques petits rappels :

  1. Comment simplifier les radicaux : Simplification_des_radicaux
  2. Comment additionner des radicaux : Somme_de_radicaux
  3. Comment multiplier les radicaux : Produit_de_racines_carrees
  4. Rendre les dénominateurs rationnels : Rendre_les_denominateurs_rationnels

 

Voici quelques autres exercices ex_radicaux_1   et leurs corrections. Corr_ex_radicaux

et encore d'autres : ex_radicaux_2

Devoir pour le     : devoir_racine_carr_e_2006_2007

exemple de test : test du 8 novembre 2009 : test_radicaux_09_10

Correction des exercices de la page 70 faits en classe  correction_page_70

 

Encore des exercices et leurs corrections : 0169_001

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20 novembre 2011

4. Le théorème de Pythagore

Tout d'abord le plan du chapitre : Plan_Pythagore_2011_2012

 Le théorème de Pythagore

 

Pythagore : http://www.youtube.com/watch?v=pzDyE-xJDLA

Démonstration illustrée de la démonstration de Pythagore : http://www.youtube.com/watch?v=FxqI7L9ZZQA

ou encore : http://www.youtube.com/watch?v=SKpUyMmTkrY

Enoncé :

Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des  longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse.

Réciproque :

Si dans un triangle, le carré de la longueur d'un côté égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et le plus grand côté en est l'hypoténuse.

Attention: ne pas confondre le théorème et sa réciproque.

Théorème : on a un triangle rectangle donc on peut en déduire une relation entre les côtés

Réciproque : on a une relation particulière entre les côtés d'un triangle donc on peut en déduire que celui est rectangle.

Ce n'est pas du tout la même chose .........

voir la syntèse dans le livre page 88.

Revoir les exercices faits en e.

Quelques exercices supplémentaires et leurs corrections : ex_comp_Pythagore

Correction de quelques exercices du livre

Exercices 28 30 32 et 34 page 92 :  corr_pythagore_28_30_32_34

Exercices 35 36 45 50 57 : corr_pythagore_35_36_45_50_57

Exercices 58 et 62 page 96 : corr_pythagore_58_62

Exercices 53 page 95 : corr_Pythagore_53

 

Applications intéressantes du théorème de Pythagore

 

1. Distance entre deux points dans le plan cartésien

Comme pour tous les chapitres ou sous-chapitre, il est impératif de revoir ce qui a été fait en e. De refaire les exercices faits, de comparer ses réponses avec les réponses trouvées en e, puis seulement de passer à des excercices supplémentaires.

Bien se rendre compte que le segement AB est en fait l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit correspondent d'une part à la différence des absisses et d'autre part à la différence des ordonnées. A partir de là, il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore et on obtient la distance AB.

Quelques exercices supplémentaires et leurs solutions : Distance_entre_deux_points_dans_le_plan_cart_sien

 Devoir Pythagore : devoir_pythagore  et sa correction : 

2. Relations métriques dans le triangle rectangle.

Enoncé et démonstrations des propriétés : cliquez ici   Les_relations_m_triques_dans_le_triangle_rectangle

A étudier : les énoncés des propriétés et  les deux démonstrations faites en e.

Voici quelques exercices sur ces propriétés.:  relations_metriques_ex

et les corrections: rel_metriques

Quelques exercices de constructions en rapport avec les relations métriques rel_metriques_constructions , et la correction: rel_metriques_constructions__corr

3. Construction d'un segment de longueur donnée

Savoir construire un segment dont la longueur est un nombre irrationnel.(vir les exemples faits en e)

Cliquez ici pour revoir deux exemples : Construction

   

27 novembre 2011

Matières du bilan de Noël 2012

Voici la matière du bilan de Noël 2012.

Rappel : Etudier régulièrement et en profondeur, jamais par coeur est la meilleure manière de réussir ses bilans !

Mati_re_noel_2012

Comme nous n'avons pas tout vu en classe par manque de temps, on supprimera la matière suivante (voir feuille orange distribuée en classe) les points 3.1 et 3.3  ainsi que la démonstration du théorème de Pythagore.

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11 janvier 2012

5. Isométrie - Similitude - Thales

Isométrie   -    Similitude   -   Thalès 

1. Introduction du chapitre 10

Je vous conseille également de voir les synthèses des pages 90 et suivantes

Revoici pour celui (ou celle) qui les a égarées ou baclées les feuilles d'introduction :  isom_trie_et_similitude et les exercices : applications_d_intro

Je vous conseille de bien revoir et de bien comprendre ces feuilles d'introduction, elles reprennent les premières notions importantes et la différence entre une isométrie et une similitude.

Premier devoir sur ce chapitre : devoir_isom_trie_et_similitude

et sa correction : 

 

 

2. Isométrie

Qu'est-ce-qu'une isométrie ?

Une isométrie est une transformation du plan qui conserve les distances

Je vous conseille ici de revoir la synthèse du livre (tome 2 pages 92 et 94)

Voici un lien intéressant pour découvrir les isométries et les similitudes :

http://etablissements.ac-amiens.fr/0801900f/IMG/pdf/chapitre_7_triangles_isometriques_et_semblables.pdf

Critères d'isométrie des triangles

Petit jeu

Point de départ : Une personne dessine sur sa feuille, devant lui, un triangle quelconque. Il demande ensuite à d'autres de reconstruire rigoureusement le même triangle que lui. Ceux-ci peuvent poser des questions relatives aux côtés et aux angles du triangle au dessinateur. Règle du jeu : ils  doivent poser le moins de questions possibles. Coup de pouce : il y a trois possibilités.

Voila les trois possibilités :

1er possibilité : Donne-moi, dessinateur, les longueurs des trois côtés du triangle et je te construirai un triangle identique au tien.

2ème possibilité : Donne-moi, dessinateur, la longueur d'un côté et l'amplitude de deux angles de ton triangle et je te constuirai un triangle absolument identique au tien.

3ème possibilité : Donne-moi, oh dessinateur, l'amplitude d'un angle de ton triangle et la longueur des côtés de cet angle et je te construirai un triangle rigoureusement identique au tien.

Critères d'isométrie des triangles

Ce petit jeu nous font découvrir les trois critères ou cas d'isométrie des triangles

  1. Deux triangles sont isométriques s'ils ont un angle de même amplitude compris entre des côtés de longueur respectivement égale
  2. Deux triangles sont isométries s'ils ont un côté de même longueur  et deux angles respectivement de même amplitude
  3. Deux triangles sont isométriques s'ils ont  leurs trois côtés de longueur respectivement égale.

 

Remarques

  1. Dans le premier critère, l'angle doit être compris entre les côtés donnés sans quoi, les triangles constuits ne seront pas nécessairement isométriques (voir la construction faite en classe)
  2. Le mot "respectivement" est important car il met en relation les côtés ou les angles du premier triangle avec leurs côtés homologues dans le second.

Exercices : Voir les exercices faits en classe

Ne pas oublier :

  • Pour prouver que deux segments ont la même longueur, on montre que ce sont les côtés homologues de deux triangles isométriques
  • Pour prouver que deux angles ont la même amplitude, on montre que ce sont les angles homologues de deux triangles isométriques.

Il faut donc commencer par trouver des triangles qui ont l'air isométriques, superposables. Ensuite prouver qu'ils le sont en utilisant les critères ci-dessus, ensuite on pourra en conclure que les côtés homologues ont la même longueur ou les angles homologues la même amplitude en fonction des demandes (thèse) du problème.

Autres exercices donnés sans les corrections

1. démontre que dans tous parallèlogramme, une diagonale détermine deux triangles isométriques.

2. Dans un parallèlogramme, trace les diagonales. Découvre les paires de triangles isométriques. Démontre.

3. Démontre que les hauteurs relatives aux côtés de même longueur d'un triangle isocèle ont la même longueur

4. Démontre que les bissectrices des angles à la base d'un triangle isocèle  ont la même longueur.

5. Démontre que si la hauteur d'un triangle est en même temps médiatrice de ce triangle, alors ce triangle est isocèle.

6. Si deux hauteurs d'un triangle ont même longueur, alors ce triangle est isocèle. Démontre.

7. Caractérise le triangle dont la médiatrice d'un côté passe par le sommet opposé. Justifie ta réponse.

 

Quelques tests des années précédentes :

test_isometrie_demonstration    test_isometrie_v5     test_iso_v_4    test_iso_v5

Devoir : devoir_isometrie

 

3. Similitudes

Petite introduction : rapports et proprotions.

deux tests sur rapport et proportions

test_rapport_et_prop_v1, test_rapport_et_prop_v2

Rappel

Deux figures sont semblables si elles sont identiques aux dimensions près. L'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre. Leurs angles ont respectivement même amplitude (forcément, sans quoi, les figures seront déformées!). L'échelle d'agrandissement ou de réduction s'appelle "rapport de similitude".

Voir à ce propos les feuilles d'introduction du chapitre : "introduction chapitre 10".

Nous nous intéresserons plus particulièrement aux triangles semblables.

Petit jeu :

Comme pour les critères d'isométrie des triangles, nous nous poserons une question :

Le professeur dessine un triangle quelconque au tableau et demande à ses élèves de dessiner un triangle semblable sur leur cahier. Ceux-ci peuvent poser des questions relatives aux angles et aux côtés du triangle. Ils doivent poser le moins de questions possibles, des questions pertinentes ......

Un élève intervient  : Donnez-nous l'amplitude d'un angle et les longueurs des côtés du triangle formant cet angle. Je choisirai une échelle (un rapport de similitude) et je vais dessiner un triangle semblable au vôtre.

Un autre prend la parole : Donnez-nous les amplitudes de deux angles et je constuirai un triangle semblable au vôtre. La longueur du segment "reliant" les deux angles n'a pas d'importance. Je n'en ai pas besoin. De toute façon deux segments sont toujours semblables.

Un troisième à son tour déclare : Donnez-nous les longueurs des trois côtés de votre triangle et nous construirons un triangle semblable au vôtre. Nous allons choisir une échelle (un rapport) et sans aucun doute, notre triangle sera semblable au vôtre.

Que pensez-vous de ces affirmations ?

Critères de similitude des triangles

  1. Deux triangles sont semblables s'ils ont un angle de même amplitude compris entre deux côtés de longueurs proportionnelles.
  2. Deux triangles sont semblables s'ils ont deux angles respectivement de même amplitude.
  3. Deux triangles sont semblables s'ils ont leurs trois côtés de longueurs proportionnelles.

(Voir aussi le livre, tome 2, page 96)

Exercices faits en classe : les numéros 36,37,44,45,46 et 49 pages 104 et 105

Autres exercices sur feuilles : ex_tri_semblables_1  et   ex_tri_semblables_2

Correction de ces exercices :corr_ex_similitudes

tests de cette année : test_similitude_v1_2011_2012 , test_similitude_v2_2011_2012

test_similitude_v3_2011_2012 , test_similitude_v4_2011_2012  et les corrections de ces deux derniers tests :

corr_simi_v4 ;  corr_test_similitude_v3_2011_2012

Devoir du 6 février 2013 : devoir_similitudes et sa correction : corr_def_similitudes

 

4. Thales

thlaes

 

Thalès de Milet était un philosophe présocratique ionien né à Milet vers -625 et mort vers l'an 547 avant J-C. Il fut l'un des sept sages de la Grèce et le fondateur de l'école milésienne (voir Wikipédia) Voir aussi votre cours d'histoire où votre professeur préférée, Madame Weyland, n'a pas manqué de vous en parler !

Moment clé du troisième : Le théorème de Thalès :

Introduction du théorème : Partons des triangles semblables et amusons-nous un peu !

Voir les feuilles distribuées en classe ci-dessous. Contrairement à l'apparence, avec un tout petit peu d'attention, ce n'est vraiment pas compliqué, mais il faut s'investir un tout petit peu.

 

Introduction_Thales

Voici quelques liens intéressants avec applications du théorème de Thales.

http://siteexomath.free.fr/fichescollege/fiche_thales.htm

http://www.ilemaths.net/maths_3_thales_2exos.php

http://www.cmath.fr/3eme/theoremedethales/exercice1.php

http://www.cmath.fr/3eme/theoremedethales/exercice1.php

http://mathsp.tuxfamily.org/IMG/pdf/th-thales-2.pdf

http://www.tetraedre.net/niveau3/cours/3_cours2.pdf

 

En classe, nous résoudrons quelques exercices parmi les  numéros suivants:

20 - 23 - 24 - 26 - 35 - 36 - 37 - 38 - 39 - 42 - 44 du chapitre 8 du deuxième tome.

Voici la correction de ces exercices (sauf erreurs !) correction_ex_thales

Voici quelques tests des années précédentes. Les notations sont peut-être légèrement différentes mais ne doivent par gêner la comprehension.

test_thal_s_v2

test_thales_08_09_v1

test_thales_08_09_v2

test_thal_s_v1

test_thal_s_v4

 

La réciproque du théorème de Thalès.

Le théporème direct nous dit ceci : si deux droites a et a' sont parallèles, alors on peut en déduire un certain nombre d'égalité entre rapports, un certain nombres de proportions.

La réciproque nous dit ceci : Si on a telle ou telle proportion, alors on peut en déduire le parallèlisme entre des droites.

Pour mieux voir ceci dans le détail, ouvrir le fichier suivant : Reciproque_de_Thales

Voici quelques exercices : ex 31 et 32 page 49, ex 40 page 50, ex 54 page 52

et la correction : corr_recip_thales

Une application intéressante du théorème de Thalès : Partager un segment en x parties égales.

Comment faire pour partager, de manière raisonnée et justifiée un segment d'une longueur donnnée en x parties égales. Partager par exemple, un segment donné en 5 parties égales. Voir le fichier attaché ci-joint: partager_un_segment

Bien veiller à distinguer la "pourquoi" du "comment". Comment je divise le segment donné et pourquoi je travaille de cette manière, ce n'est pas la même chose. En troisième, on demande surtout de justifier ce que l'on fait, on insiste donc sur le pourquoi.

Une autre application intéressante : le théorème dit des milieux.

Si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle et est parallèle à un autre côté alors elle coupe le 3ème côté en son milieu et la longueur du segment déterminé est égale à la moitié de celle du côté qui lui est parallèle.

et sa réciproque :

Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté et la longueur du segment déterminé est égale à la moitié de celle du troisième côté.

Une petite utilisation de ce théorème et de sa réciproque :

En joignant les milieux consécutifs d'un quadrilatère quelconque, on obtient toujours un parallèlogramme.

Démonstration de tout ceci  en cliquant sur le lien :Theoreme_des_miliexu

 

 

03 mars 2012

6. La trigonométrie dans le triangle rectangle

Différentes unités de mesures un angle

Nous utilisons  habituellement le degré comme unité de mesure d'un angle. A côté de cette unité existent d'autres unités : le grade et le radian.

différentes unités de mesures d'angles

Remarque importante : le degré se divise en 60 minutes et la minute en 60 secondes. La seconde se divise en 10 dixièmes de seconde.

Lorsque nous travaillerons, il faudra donc veiller à travailler avec rigueur et donc donner les mesures des angles en degrés, minutes et secondes.

Bien veiller à ce que la calculatrice travaille en degrés. Un petit "d" ou "deg" doit apparaître sur l'écran de la calculatrice.

Connaître sa calculatrice est indispensable pour pouvoir travailler correctement et rapidement.

 

Recherche des nombres trigonométriques

Nous partons des triangles semblables pour construire les nombres trigonométriques.

Recherche des nombres trigonométriques : nbres_trigo , correction du petit exercice page 4 corr_exe_page_4

correction des exercices 3, 4 et 5 de la page 120. cliquer ici : corr_ex_trigo_3_4_5

correction des exercices 6, 8, 10 de la page 120, cliquer ici : corr_ex_trigo_6_8_10

correction des exercices 11, 12, 13, 14, 15 de la page 121, cliquer ici : corr_ex_trigo_11_12_13_14_15

correction des exercices 16, 17, 18, 19, 20 de la page 121, cliquer ici : corr_ex_16_17_18_19_20

Relation fondamentale : sin²x + cos²x = 1   : savoir démontrer cette relation

Valeurs particulières : nous avons recherché en e la valeur des nombres trigonométriques suivants : sin30°,cos30°,tg30°; sin60°, cos60°,tg60°; sin45°, cos45°,tg45°. Il faut pouvoir retrouver ces valeurs en partant de triangles équilatéraux ou rectangles isocèles.

Exemples de tests des années précédentes :

test_trigo_n_1; test_trigo_n_2; test_trigo_n_3; test_trigo_n_4; test_trigo_n_6; test_trigo_n_7; test_trigo_n_8; test_trigo_n_9.test_trigo_n__13. test_trigo_n__14

Devoir de trigonométrie à remettre  : devoir_trigo_1

 

 

20 mars 2012

7. les fonctions.

Les fonctions

Le mot "fonction" n'a pas été choisi par hasard. Si une grandeur dépend d'une autre grandeur, nous disons parfois que la deuxième grandeur est fonction de la première.

Exemple : le salaire d'un ouvrier est fonction des heures prestées. Le salaire dépend des heures prestées par l'ouvrier.

Autre exemple classique: Si un train roule à une vitesse constante, la distance parcourue dépend du temps, la vitesse est fonction du temps.

A partir de ces exemples, nous pourrions établir des tableaux et des graphiques. Nous pouvons écrire une formule qui reliera une grandeur à l'autre.

Bien sûr, nous pouvons étudier des fonctions plus "mathématiques".

Nous pourrions étudier la fonction "carré". Comment va évoluer le carré d'un nombre en fonction du nombre choisi. Nous pourrions étudier la fonction qui a un nombre fait correspondre son triple, ou la fonction qui a un nombre fait correspondre sa racine carrée quand c'est possible. Ou encore la fonction qui à un nombre fait correspondre son cube augmenté de son carré.

On pourra établir des tableaux, des graphiques et même trouver une formule.

Je compare souvent la fonction à une machine mathématique :

J'introduis un nombre dans la "machine", la machine le transforme en un autre nombre.

Exemple : la fonction qui a un nombre fait correspondre son cube.

Si j'introduis dans cette machine "cube" le nombre 3, la machine va travailler et me donner le nombre 27.

Si j'introduis le nombre 4, la machine va travailler et me donner le nombre 64.

Que fait votre calculatrice ? Rien d'autre. Vous introduisez 5 dans la machine, nous cliquez sur la touche x³, la machine vous donne 125. Ne dit-on pas que telle calculette possède un certain nombre de "fonctions".

Evidemment, mathématiquement, nous ne parlerons pas de "machine" mais d'une fonction.

A partir de là, nous pourrons établir un tableau qui reprend par exemple dans une première ligne les nombres que l'on introduit dans la machine (on dit les nombres dont on chercher l'image) et dans une seconde ligne les nombres que la machine produit (on parle des images). Nous pourrons établir une graphique dans le plan cartésien, le plan muni d'un repère. Nous étudierons ces graphiques.

En troisième, nous nous étudierons uniquement les  fonctions du premier degré.

Exemples : la fonction qui a un nombre fait correspondre son triple ou la fonction qui a un nombre fait correspondre son double augmenté de 3. Ce sont les fonctions linéaires et les fonctions affines.

1.  La fonction linéaire.

Clique sur le lien ci-dessous et vous saurez tout sur les fonctions linéaires.

http://www.ilemaths.net/maths_3_fonctions_lineaires_cours.php

pour la correction des exercices 11,12 et 13 de la page 109 _correction_ex_11_12_13

Pour la correction des exercices 14 et 15 de la page 109 fonc_line_ex_14_15

pour la correction de l'exercice 16 de la page 109 corr_fonc_lin_ex_16

pour la correction des exercices 33 à 41 de la page 112 fonc_lin__ex_33_a_40

pour la correction des exercices 42 et 43 de la page 113 corr_ex_42_et_43

pour la correction de l'exercice 45 de la page 113 corr_ex_45

pour la correction de l'exercice 47 de la page 113 corr_ex_47

pour la correction de l'exercice 48 de la page 113 corr_ex_48

 

2. La fonction affine:

Tout d'abord quelques liens intéressants sur les fonctions affines (et linéaires)

 

Correction des exercices sur les fonctions affines.

corr_ex_fonctions_affines__1_ : page 128 n° 2 à 10

corr_ex_fonctions_affines__2_: page 128 n° 11 et 12, page 129 n°18, page 130 n° 19 à 25

corr_es_fonctions_affines__3_page 130 n°24 à 28, pages 132 et 133 n° 36 à 43

Coefficients de direction de deux droites parallèles ou de deux droites perpendiculaires

Voir tome 2 page 140

Deux droites parallèles ont le même coefficient de direction. (déjà observé souvent)

Deux droites perpendiculaires.

Voir justification dans le fichier attaché ci-contre : droites_perpendiculaires

Si deux droites sont perpendiculaires alors le coefficient de direction de l'une est égal à l'opposé de l'inverse du coefficient de direction de l'autre.

devoir sur les fonctions : devoir_fonctions  et sa correction : devoir_fonctions_corection_

07 mai 2012

8. Systèmes d'équations.

Systèmes de deux équations à deux inconnues.

Introduction des équations à deux inconnues et des systèmes à partir des fonctions affines.

Equations_du_premier_degre_a_deux_inconnues

Voir le livre tome 2, chapitre 12

Comment résoudre un système de deux équations à deux inconnues : petit exposé.

http://mathenligne.free.fr/sitepub2/encycoalge/classe/3eme/cours3eme/ch63emesysteme/ch63emesysteme.htm

Méthode par substitution :

http://www.youtube.com/watch?v=0KgAtyks2PY

Par combinaison :

http://www.youtube.com/watch?v=-wGJRbs1pS4 

Résolution de quelques exercices du livre. corr_ex_page_150 

Quelques systèmes à résoudre avec les solutions : exercices_sur_les_systemes

Quelques problèmes et leurs solutions  : problemes_a_deux_inconnues__1_  et  Problemes_a_deux_inconnues__2_

tests des années précédentes : test_syst_me_d__quations    test_syst_me_d__quations_vers_2   test_syst_mes   test_syst_mes_08_09

Encore quelques systèmes à résoudre (un peu plus difficiles !)    Systemes_d_equations_ex

Quelques petits problèmes simples à résoudre (avec solutions) :Probl_mes___deux_inconnues

Devoir et sa correction : à remettre le mardi 15 mai 2012 : 0265_001

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14 mai 2012

9. Les polynômes et les fractions algébriques

Les polynômes.

Tome 2 : Chapitre 7 : Polynômes

Voir la synthèse des pages 12 est suivantes.

Pouvoir résoudre des exercices semblables aux exercices faits en classe.

Concernant la division de polynômes : Se limiter aux situations où le diviseur est un binôme du type   (x-a)

Correction de quelques exercices du livre (les plus intéressants !)   correction__ex_plynomes

Division d'un polynôme par (x-a) et loi du reste : dvision_par_x_a (feuilles distribuées en classe)

Devoir sur les  polynômes : devoir_polyn_mes

 

Les fractions algébriques ou rationnelles.

Voir la synthèse de la page 20 du 2ème tome et la mise en oeuvre de la page 21

Les fractions algébriques ou rationnelles se travaillent exactement (?) de la même manière que les fractions "normales". Pour additionner ou soustraire, on réduit au même dénominateur. Pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux. Pour diviser, on multiplie la première par l'inverse de la seconde.

Remarque importante cependant :

Une fraction existe si son dénominateur est non nul. (On ne peut jamais diviser par 0) Si la fraction rationnelle présente une partie littérale au dénominateur, il nous faudra rechercher les conditions d'existence. Une condition d'existence est une condition qui fait que la fraction puisse exister, c'est-à-dire que son dénominateur soit non nul.

Pour rechercher les conditions d'existence d'une fraction rationnelle, il est plus simple de commencer par factoriser le numérateur et le dénominateur. On arrive alors à une régle bien connue : la règle du produit nul. Un produit est nul si un de ses facteurs est nul . Donc, un produit est non nul si ses différents facteurs sont simultanément non nuls.

Nous n'envisagerons que des cas simples, (une factorisation simple) (voir la page sur la factorisation)

Simplification de fractions

Attention : on ne peut simplifier que par un facteur commun au numérateur et au dénominateur, jamais par un terme commun.

Il faudra donc ici aussi factoriser N et D avant d'éventuellement simplifier par un facteur commun.

Additions et soustractions

Comme pour les fractions "ordinaires", on réduit au même dénominateur en recherchant le dénominateur commun. Ici aussi les N et D doivent être factorisés avant de rechercher le D commun (voir les exercices faits en classe) On reprend les différents facteurs composant  les différents D. affectés de leur plus grand exposant. (recherche du ppcm). Ne pas oublier de toujours simplifier lorsque cela est possible. Parfois déjà avant de réduire au même D.

Multiplication

On procède comme pour les fractions "ordinaires". On multiplie les N entre eux et les D entre eux. On simplifier les facteurs communs aux N et aux D. (on peut simplifier d'une fraction à l'autre)

Division

Multiplier la première fraction par l'inverse de la seconde. Attention, comme on ne peut pas diviser par 0, le numérateur du diviseur devra être non nul également

Ne pas oublier : dans tous les cas, rechercher les conditions d'existence !!!!

Exercices supplémentaires avec corrigés :fractions_algebriques  avec les corrections (en fin de fichier)

Quelques tests des années antérieures : test_fractions_alg_briques_v1, test_fractions_rationnelles_v2, test_fractions_rationnelles_v3

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