1. Equations du premier degré à une inconnue : Chapitre_2

Ce sont les équations  de l'an dernier en deuxième. Je vous conseille donc de revoir, dans votre cours de l'an dernier les exercices que vous aviez résolus et la méthode de résolution.

Vous pouvez aussi faire tous les exercices 1 à 7 page 38 et 86 à 89 page 46.

Cliquez sur le lien ci-contre pour trouver les solutions. chap_2__quations_1

Comment résoudre une équation qui semble plus compliquée, avec des dénominateurs, de grandes barres de fraction, des "moins" devant ces barres de fraction, etc.

Clique ci-contre, tu trouveras des pistes pour apprendre. Resoudre_une_eq___den

Voici d'autres équations.... un peu plus compliquées.Quelques__quations___r_soudre

Voici les solutions : Correction_des_exercices_suppl_mentaires

 

Jusqu'à présent, nous résolvons des équations qui admettent une seule solution. On peut dire que ce sont des équations  "déterminées".

Equations particulières

1) Equations impossibles

Soit à résoudre l'équation : 0x = 4

Question : Existe-t-il un nombre qui multiplié par 0 donne 4 comme produit ? Aucun, bien sûr ! 0 étant élément absorbant pour la multiplication ! Cette équation n'admet donc aucune solution. Nous dirons que c'est une équation impossible.

Voici une série d'équations impossibles.

0x = -3       0x = 78       0x = -56

2) Equations indéterminées

Soit à résoudre l'équation : 0x = 0

Question : Existe-t-il un nombre qui multiplié par 0 donne 0 comme produit ? Oui, bien sûr ! Tout nombre multiplié par 0 donne 0 comme produit. Tout nombre est donc solution de cette équation. Voilà une équation qui admet donc une infinité de solutions. C'est une  équation indéterminée.

 

En résumé donc

Une équation admet une seule solution : équation déterminée

une équation admet  une infinité de solutions : équation indéterminée

Une équation n'admet aucune solution : équation impossible

 

2. Les équations produits nuls

Rappel : 0 est élément absorbant pour la multiplication. Cela signifie que si un facteur d'un produit est nul, le produit est nécessairement nul.

Exemple : 3,5x2,7x0x3,6 = 0 car un des facteurs de ce produit est nul.

Mathématiquement, quels que soient les nombres a et b,

Si  a = 0 ou b = 0 alors a.b=0

Réciproquement, nous admettrons que si un produit est nul alors un au moins de ses facteurs est nécessairement nul.

Mathématiquement, quels que soient les nombres a et b,

si a.b = 0, alors a = 0 ou b = 0

Exemple :

Voici un produit nul : (x+2)(x+3)=0. Ce produit comprend deux facteurs. Puisque le produit est nul, c'est que un des deux facteurs du produit est nécessairement nul. Soit le premier facteur (x+2)=0, soit le deuxième facteur (x+3)=0. Le produit (x+2)(x+3) est donc nul si x = -2 ou x=-3.

Les nombres trouvés, -2 et -3 sont des solutions de l'équation (x+2)(x+3) = 0.

Une équation de ce type est appelée une "équation produit nul".

Généralisons :

Une équation du type (ax+b)(bx+c) = 0 est appelée une équation produit nul.

Les solutions d'une telle équation sont les solutions de chacune des équations ax+b=0 et cx+d=0

(Voir la petite synthèse en bas de la page 32.)

Comment ramener une équation à une équation produit nul ?  Voir page 33.

Autres exemples

1) Résoudre l'équation  (x-4)(x-1)=0. C'est une équation produit nul. (Un produit est nul, si un des facteurs qui le composent est nul.)

Donc x-4=0, c'est-à-dire x=4

ou

x-1=0, c'est-à-dire x=1

Cette équation admet donc deux solutions : 4 et 1

Présentation :

(x-4)(x-1)=0

1er cas: x-4 = 0 donc x=4

2ème cas : x-1 = 0, donc x=1

Solution : S = 4;1

 

2) Résoudre l'équation x² + 9x = 0

  • Factoriser le premier membre

x(x+9) = 0

  • Et nous sommes ramenés à une équation produit nul. Deux facteurs x et x+9

1er cas : x = 0

2ème cas : x+9 = 0, donc x = -9

Solution : S = 0;-9

Quelques remarques :

  • Lorsqu'une équation est d'un degré supérieur à 1, nous sommes face à une équation produit nul.

  • Toujours ramener tous les termes dans le premier membre, le deuxième membre doit être nul.

  • Factoriser alors le premier membre. Chaque facteur doit être une expression  du premier degré.

  • Egaler chaque facteur à 0 (puisque le produit est nul)

  • La solution est composée des solutions de chacune des équations du premier degré.

  • Ces équations ademettent donc généralement plusieurs solutions.

Solutions des exercices du livre : eq_prod_1 et eq_prod_2

Test n°3: Equations et sa correction  : à voir plus tard

Les problèmes à une inconnue

Pour résoudre de tels problèmes, on les tansforme en équations, on change de langage. On passe d'un langage français en un langage mathématique. Le langage mathématique étant dans ce cas une équation. Pour cela il nous faut respecter quelques règles.

Il nous faut tout d'abord indiquer clairement ce que va représenter l'inconnue de l'équation. Cette première étape s'appelle "le choix de l'inconnue."

La deuxième étape consiste à traduire l'énoncé donné en français en un langage mathématique, c'est ce qu'on appelle "la mise en équation". C'est l'étape la plus délicate. Il faut veiller à bien traduire l'énoncé.

La troisième étape est la résolution de l'équation et la solution de cette équation. Facile

La quatrième étape est la solution du problème ou l'interprétation du résultat. Cette étape est importante car c'est elle qui donne vraiment la solution du problème. Attention cependant la solution du problème n'est pas toujours la solution de l'équation. D'où l'importance de l'interprétation de la solution de l'équation.

On peut utilement ensuite vérifier la solution du problème en reprenant l'énoncé en français et en vérifiant si la solution trouvée répond bien à la question posée dans le problème.

Solutions des problèmes proposés dans le livre aux pages 39 et 50 : solutions_probl_mes

Voici d'autres problèmes à résoudre par mise en équation : _probl_mes___une_inconnue__V2_ 

Solutions_des_probl_mes_du_premier_degr____une_inconnue

Voici encore quelques équations de tous les types et leurs solutions : Encore_quelques__quations___r_soudre

3. Inéquations  

Intro : Inégalités et opérations

En classe nous avons compléter la feuille suivante  :  ordre

Voir la synthèse de la page 36

Exercices intéressants: N° 51  52  53  54  55  56  57  58

Correction de ces exercices : exercices_ordre

Qu'est-ce qu'une inéquation ?

 Une équation est une égalité qui pose une question.

 Répondre à la question, c'est résoudre l'équation.

Quel est le nombre dont le triple est égal à 48 ?

Une inéquation est une inégalité qui pose une question.

Quels sont les nombres dont le triple est strictement plus petit que 48 ?

Répondre à la question , c'est résoudre l'inéquation.

Voir livre page 34

Comment résoudre une inéquation ?

On procède comme pour une équation en appliquant les règles vues précédemment.

Attention : lorsqu'on multiplie les deux membres d'une inégalité par un même nombre négatif, l'inégalité change de sens !

Exemple commenté : voir livre page 37 (tome 1) Remarque : nous n'adoptons pas la présentation sur une droite graduée comme présenté dans le livre ! (voir les sous-ensembles de R dans un autre chapitre!)

Exercices simples : page 43 (n° 64 à 69)

Correction

de ces exercices : inequations_1 

Encore quelques inéquations à résoudre.  inequations_a_resoudre Ces inéquations n'ont pas été résolues en classe.

Correction des exercices 131 à 132 page 49 et 143 à 148 page 50  Num_riser0002

 

Inéquations particulières :

Ce sont les inéquations du type 0x<0; 0x>-2; ......

Avant tout REFLECHIR ! Il n'y pas de truc, ni de règle particulière. REFLECHIR !

Exemple 1  : 0x

Est-il possible de trouver un nombre qui multiplié par 0 va donner un produit plus petit que -2 ? Non bien sûr, car 0 est élément absorbant pour la multiplication, autrement dit 0x est toujours égal à 0, donc n'est pas plus petit que -2. Cette inéquation est impossible. Aucune solution.

Exemple 2  : 0x>-2

Est-il possible de trouver un nombre qui multiplié par 0 va donner un produit plus grand que -2 ?  oui bien sûr, car Ox = 0 et comme 0 est plus grand que -2, cette inéquation admet une infinité de solutions. Tous les réels sont solutions de cette équation.

Envisager donc toutes les inéquations de ce type sous cet angle. Se poser les bonnes questions et ne pas agir mécaniquement.