Chapitre 1 : Ecriture littérale et Identités remarquables

D'abord le plan du chapitre : chapitre_1_plan (la feuille a été distribuée en classe !)

1. Développer :

1.1 Distributivité simple et distributivité double.

Beaucoup de révisions dans cette première partie de chapitre. Je conseille de relire et d'étudier la petite synthèse en haut de la page 12.

Développer un produit, c'est donc l'écrire sous la forme d'une somme de plusieurs termes.

Lorsqu'on développe un produit, on transforme une multiplication en une addition (ou une soustraction)

Remarque : Attention à la règle des signes et plus particulièrement aux parenthèses précédées d'une signe -.

Dans une expression telle que celle-ci  (a+b)(c+d) - (a-b)(c-d), toujours appliquer deux fois la double distributivité en laissant les parenthèses puis enlever les parenthèses en respectant les règles connues.

Exemple: (a+b)(c+d) - (a-b)(c-d) = (ac+ad+bc+bd) - (ac-ad-bc+bd)=ac+ad+bc+bd-ac+ad+bc-bd =2ad+2bc

Correction des exercices de la page 16 : chap1_p_16

 

1.2. Les identités ou produits remarquables

 Rappel : les trois produits (identités) remarquables vues en deuxième année : (je conseille en cas de difficultés de revoir les exercices faits l'an dernier, si tu es soigneux(se), tu as conservé ton cahier !)

(a+b)² = a²+2ab+b²

(a-b)² = a²-2ab+b²

(a+b)(a-b) = a²-b²

Ces trois identités remarquables sont à connaître par coeur.

Voir aussi la petite synthèse de la page 12 du tome 1.

Attention : ne pas confondre (a-b)² et a²-b²

(a-b)² est le carré d'une différence tandis que a² -b² est une différence de deux carrés.

Correction des exercices de la page 17 : cliquez sur les liens suivants : chapitre_1_p_17__1_: chapitre_1_p_17__2_

Test N°1 du 14 septembre 2009 test_1_2009_2010_v1

 2. Factoriser

Factoriser une expression algébrique, c'est l'écrire sous la forme d'un produit.

Si a, b, c sont des nombres relatifs

a.(b+c) = a.b + a.c

  • Si je lis cette expression de gauche à droite, j'effecture, je distribue
  • Si je lis cette expression de droite à gauche, je factorise, je mets en évidence

La factorisation est en quelque sorte "le contraire", "l'opération inverse" de la distibutivité.

Pour factoriser, nous utiliserons trois méthodes différentes

1ère méthode : la mise en évidence

(L'expression française :"Se mettre en évidence" signifie se mettre en avant,devant. En mathématique, l'expression a la même signification, mettre en avant, mettre devant les autres.)

Pour factoriser une expression par mise en évidence, il faut :

  1. Une somme (ou une différence) de plusieurs termes
  2. Chaque terme doit s'écrire sous la forme d'un produit de plusieurs facteurs
  3. L'éventuel facteur commun aux différents termes peut être mis en évidence

Exemples:

  1. kx + kc = k(x+c)
  2. 6a + 18 = 6a+6.3 = 6(a+3)
  3. 6a + 6 = 6.a + 6.1 = 6.(a+1)
  4. Voir les autres exemples pages 14 et 15

Attention : dans une expression telle que celle-ci "axay" on ne peut mettre en évidence car  on n'a pas une somme de plusieurs termes mais un produit de plusieurs facteurs.

Remarques :

  1. Toujours mettre en évidence le plus de facteurs possibles.
  2. Il y a toujours autant de termes à l'intérieur des parenthèses que dans l'expression de départ.

 

2ème méthode : la différence de deux carrés.

Se souvenir de l'identité remarquable : (a + b)(a - b) =  a² - b²

Prenons cette identité à l'envers, le premier terme de l'égalité devient le second et le second devient le premier.

a² - b² = (a + b)(a - b)

 

Le premier membre est une différence de deux termes, le second membre est un produit de deux facteurs, on a donc bien factorisé une expression mathématique.

Lorsqu'une expression mathématique se présente sous la forme d'une différence de deux carrés, on peut donc la factoriser en utilisant l'identité remarquable connue. Voir les exemples en bas de la page 14.

Attention : Remarque importante : On ne peut jamais factoriser une somme de deux carrés.

! a² + b² est infactorisable !

Attention : encore une fois, ne pas confondre (a-b)² et a²-b²

(a-b)² = (a-b)(a-b)  et   a²-b² = (a-b)(a+b)

Exemples :

  1. a²-9 = a²-3²=(a-3)(a+3)

  2. 16a²-81b²=(4a)²-(9b)² = (4a-9b)(4a+9b)

  3. voir aussi les exemples pages 14 et 15

3ème méthode : le trinôme carré parfait

Se souvenir des identités remarquables : (a+b)²=a²+2ab+b² et (a-b)²=a²-2ab+b²

  • Lorsque ces expressions sont lues de gauche à droite, on effectue, on transforme une multiplication en une addition ou une soustraction.

  • Lorsque ces expressions sont lues de droite à gauche, on factorise car on transforme une addition ou une soustraction en une multiplication.

Lorsque nous allons rencontrer une expression mathématique qui se présente sous ces formes :

a²+2ab+b²

a²-2ab+b²

nous allons donc pouvoir les factoriser en écrivant respectivement :

(a+b)² et (a-b)².

Comment procéder ?

Exemple : 4x²+12x+9 est un trinôme (trois termes). Est-il carré parfait ? Pour cela, il faut deux carrés. 4x² est le carré de (2x) et 9 est le carré de 3. De plus 12x doit être le double produit de 2x par 3. Est-ce le cas ? Oui car 2.2x.3=12x. Donc :

4x²+12x+9 = (2x)²+2.2x.3 + 3² = (2x+3)²

Voir les autres exemples page 14 et page 15 tome 1

Exercices corrigés de la page  18  : cliquez ici : chapitre_1_p_18__1_

Exercices corrigés de la page 18 (n°30 à 34) et de la page 19 (n°35 et 36) chap_1_p_18_et_19

Exercices corrigés de la page 19 (n° 37 à 43) : chap_1_p_19

Exercices corrigés des pages 19 et 20  : chap_1_p19_et_20

Exercices corrigés page 21 (57 à 63) : chap_1_ex_57___63

Devoir de mathématique n°1 num_risation0007  et sa correction :